Institut für Mathematische Stochastik (IMST)

In der Vorlesung werden die folgenden Themen behandelt:

  1. Maßtheoretische Grundlagen
    • Allgemeine Maßräume, Zähl- und Borelmaß, Fortsetzungssätze, Messbarkeit und Zufallsvariablen
  2. Unabhängigkeit
    • Lemma von Borell-Cantelli, Kolmogorovsches Null-Eins-Gesetz
  3. Maßintegrale und Momente
    • Maße mit Dichten, Satz von Fubini-Tonelli, Faltung, L^p-Räume, Ungleichungen
  4. Konvergenzbegriffe
    • Stochastische Konvergenz, Konvergenz im p-ten Mittel, Fast-sichere Konvergenz, Verteilungskonvergenz
  5. Gesetze der großen Zahlen
  6. Zentraler Grenzwertsatz
    • Charakteristische Funktionen, Stetigkeitssatz
  7. Bedingte Erwartungswerte
    • Bedingte Verteilungen und  Erwartungswert (Martingale und Stoppzeiten)

In der Vorlesung werden die folgenden Themen behandelt:

  1. Konzentration Ungleichungen
    • Hoeffding Ungleichung, Bernstein Ungleichung
  2. Empirisches Risiko Minimierung
    • Definition der ERM, Union Bound, Covering Numbers, Vorhersagefehler, Beispiele in Regression und Klassifizierung
  3. Penalisation
    • Model Wahl, Lepski's Method, Penalty, Ridge Regression, Lasso
  4. Kernels
    • Definition, RKHS, Vorhersagefehler
  5. SVMs
    • Definition, Margin Condition, Vorhersagefehler
  6. Entscheidungsbaume und Neural Netzwerke
    • Einführung

Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Zeitreihenanalyse. Folgende Themen werden behandelt:

  • Stationäre Zeitreihen
    • Trend- und saisonale Komponenten
    • Autokorrelation und Spektraldichte
    • ARMA-Modelle
  • Statistische Methoden für stationäre Zeitreihen
    • Vorhersage
    • Schätzer für Erwartungswert und Autokovarianzen
    • Yule-Walker-Schätzer
    • Periodogramm

In dieser Veranstaltung werden folgende Themen behandelt:

  • Parameterschätzung: Gütekriterien, Konstruktionsprinzipien
  • Konfidenzintervalle
  • Einführung in statistische Tests, Signifikanz
  • Spezielle Testverfahren: Ein-Stichproben-Problem, Zwei-Stichproben-Problem, ANOVA, Unabhängigkeitstests, Anpassungstests

In dieser Vorlesung werden wichtige nichtparametrische statistische Verfahren vorgestellt und mit Hilfe mathematischer insbesondere asymptotischer Methoden analysiert.

Die wichtigsten Inhalte umfassen:

  • Nichtparametrische Dichte- und Regressionsschätzung
  • Nichtparametrische statistische Testmethoden (Rang-Statistiken, Ordnungsstatistiken, Permutationsstatistiken) am Beispiel des Ein- und Zweistichproben-Lage-Problems.
  • Effizienz verschiedener Testverfahren
  • Abhängigkeitsmaße

Contents

This course gives an introduction to basic concepts of inferential statistics. Topics to be covered include point and interval estimation, testing of statistical hypotheses, classical estimation and testing procedures for one sample and two sample problems,  goodness of fit tests, and tests of independence.

At the end of the course, students will be able to select and apply appropriate methods for classical estimation and testing problems, to translate real world economic problems into statistical terms, and to relate statistical results back to real world applications.

Fundamentale Begriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie:

Wahrscheinlichkeitsraum, Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilung, stochastische Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten. Insbesondere wird auf den Modellierungsaspekt zufallsbeeinflusster, realer Vorgänge eingegangen.

Verteilungen reellwertiger Zufallsvariablen:

Verteilungsfunktion, Dichtefunktion, Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, Korrelation.

Konvergenz reellwertiger Zufallsvariablen, fundamentale Grenzwertsätze:

Schwaches und Starkes Gesetz der Großen Zahlen, Zentraler Grenzwertsatz.

Grundprinzipien der Statistik:

Parameterschätzungen, Konfidenzbereiche, Testen statistischer Hypothesen.

In dieser Veranstaltung werden Grundlagen der beschreibenden (deskriptiven) Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung behandelt:

  • Begriffsbildung und Datentypen
  • grafische Darstellungen
  • Wahrscheinlichkeiten und Verteilungen
  • empirische und theoretische Maßzahlen
  • Zusammenhänge
  • bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit
  • spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  • Approximationen

Ausgehend von der statistischen Modellierung wird die Theorie grundlegender Konzepte der parametrischen Statistik entwickelt: Statistische Modelle, Schätztheorie, Konfidenzbereiche, Testtheorie.